Kurz gesagt: Nein. Es gibt in Deutschland keine Möglichkeit, per Fernstudium das 1. Staatsexamen zum Lehrer zu absolvieren. Wer einen Bachelor-Abschluss z.B. in Bildungswissenschaft per Fernstudium erwirbt, kann sich damit ggf. für einen Studiengang zum Master of Education an einer Präsenzhochschule bewerben. Der Master of Eduction wird dem Ersten Staatsexamen mehr und mehr gleichgestellt. Aber auch ein Master of Education ist derzeit nicht per Fernstudium zu erwerben. (Es gibt zumindest aber den nebenberuflichen, weiterbildenden Master-Studiengang Inklusive Pädagogik zum Master of Education an der Universität Bremen.)

(Abbildung: © contrastwerkstatt/Fotolia)
Aber muss es eigentlich unbedingt der klassische Beruf als Lehrer an einer staatlichen Schule sein? Wo es doch noch viele andere spannende Berufsfelder im Bereich Pädagogik gibt. Zumal man als Lehrer sicher gut pädagogisch wirkt, aber doch letzten Endes an die staatlichen Lehrpläne gebunden ist; in anderen pädagogischen Berufen und auch durch Selbstständigkeit (Journalismus, Autor, Dozent etc.) hat man evtl. mehr Möglichkeiten, eigene pädagogische Vorstellungen umzusetzen.
Ein Lehramt-Studium ist also möglicherweise nicht immer die beste Möglichkeit, pädagogisch tätig zu werden. Bereits der Bachelor-Studiengang Bildungswissenschaft der FernUni bereitet auf eine viel größere Palette an Möglichkeiten vor, als Pädagoge oder Pädagogin berufstätig zu werden:

Tätigkeiten in öffentlichen und privaten Organisationen und Institutionen im Bereich der Grundlagenforschung, der Konzeptualisierung, der Organisation, Durchführung und Evaluation von Bildungsprozessen sowie mediatisierten Kommunikationsabläufen vor. Diese Kompetenzen werden benötigt in Institutionen der allgemeinen und beruflichen Aus- und Weiterbildung, Einrichtungen der Erwachsenen- und politischen Bildung, Personalentwicklung in Unternehmen, Kammern, Arbeitsverwaltung und Verbänden, Bildungsmanagement, -beratung und -forschung, Fördereinrichtungen und in Organisationen der bi- und multilateralen Bildungs- und Berufsbildungszusammenarbeit

Im Folgenden aber erst einmal die Übersicht über mögliche akademische Fernstudiengänge im Pädagogik-Fachbereich.
Fernstudium Pädagogik, Bildungswissenschaft und Bildungsmanagement
Die gesamte Übersicht über Studiengänge im Bereich Bildung und Pädagogik gibt es unter https://www.fernstudi.net/fernstudium/sozialwissenschaften/paedagogik
Bachelor-Studiengänge

Master-Studiengänge

Pädagogik-Ausbildung: Erzieher werden per Fernstudium
Eine weitere Möglichkeit ist es, nicht gleich zu studieren, sondern eine Ausbildung im pädagogischen Bereich zu machen, etwa zum Staatlich geprüften Erzieher. Im Folgenden ein paar beliebte Fernkurse im Überblick. Die gesamte Übersicht über Fernlehrgänge zum Staatlich geprüften Erzieher etc. gibt es hier: https://www.fernstudi.net/weiterbildung/gesundheit/paedagogik

Edit 02/2022: Liste aktualisiert